设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

admin2018-06-14 55

问题设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

选项

答案(X，Y)的联合密度 f(x，y)=f_X(x)f_Y(y)=[*] (Ⅰ)分布函数法． F_Z(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}．当z＜0时，Fz(z)=0；当0≤z＜2时，如图4．1， [*] 当z≥2时， F_Z(z)=∫₀¹dx∫₀^z—2xe^-ydy=∫₀¹[1—e^-(z—2x)]dx=1一[*](e²—1)． Z的概率密度f_Z(z)为 [*] (Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=[*]≠0，所以X与Z不独立．

解析

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考研数学三

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设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

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