2. 考研
  3. 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．

admin2018-06-14  103
问题 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．
选项
答案(X，Y)的联合密度 f(x，y)=fX(x)fY(y)=[*] (Ⅰ)分布函数法． FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}． 当z＜0时，Fz(z)=0；当0≤z＜2时，如图4．1， [*] 当z≥2时， FZ(z)=∫01dx∫0z—2xe-ydy=∫01[1—e-(z—2x)]dx=1一[*](e2—1)． Z的概率密度fZ(z)为 [*] (Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=[*]≠0，所以X与Z不独立．
解析
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考研数学三

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