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  3. 设向量β可由向量组α1,α2……αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1,α2……αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1,α2……αm-1，β，则( )

设向量β可由向量组α1,α2……αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1,α2……αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1,α2……αm-1，β，则( )

admin2020-03-01  13
问题 设向量β可由向量组α1,α2……αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1,α2……αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1,α2……αm-1，β，则(    )
选项 A、αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(I)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可以由(I)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可以由(I)线性表示，但不能由(11)线性表示．
答案B
解析 按题意，存在组实数k1，k2，…，kM使得k1α1+k2α2+…+kmαm=β    (*)
且必有km≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm可以由(I)线性表示，即存在实数l1，l2，…，lm-1，使得αm=l1α1+l2α2+…+lm-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+kmlm-1)αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(I)线性表示，排除选项C．
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考研数学二

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