设向量β可由向量组α1,α2……αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2……αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2……αm-1,β,则( )

admin2020-03-01  8

问题 设向量β可由向量组α12……αm线性表示,但不能由向量组(I):α12……αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α12……αm-1,β,则(    )

选项 A、αm不能由(I)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、αm不能由(I)线性表示,但可以由(Ⅱ)线性表示.
C、αm可以由(I)线性表示,也可以由(Ⅱ)线性表示.
D、αm可以由(I)线性表示,但不能由(11)线性表示.

答案B

解析 按题意,存在组实数k1,k2,…,kM使得k1α1+k2α2+…+kmαm=β    (*)
且必有km≠0.否则与β不能由α1,α2,…,αm-1线性表示相矛盾,从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示,排除选项A、D.若αm可以由(I)线性表示,即存在实数l1,l2,…,lm-1,使得αm=l1α1+l2α2+…+lm-1αm-1,将其代入(*)中,整理得β=(k1+kml11+(k2+kml22+…+(km-1+kmlm-1m-1,这与题设条件矛盾.因而αm不能由向量组(I)线性表示,排除选项C.
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