证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．

admin2018-06-27 45

问题证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．

选项

答案设Ax=0的基础解系是α₁，α₂，…，α_t．若β₁，β₂，…，β_s线性无关，β₁，β₂，…，β_s与α₁，α₂，…，α_t等价．由于β_j(j=1，2，…，s)可以由α₁，α₂，…，α_t线性表示，而α_i(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以β_j(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因为α₁，α₂，…，α_t线性无关，秩r(α₁，α₂，…，α_t)=t，又α₁，α₂，…，α_t与β₁，β₂，…，β_s等价，所以r(β₁，β₂，…，β_s)=r(α₁，α₂，…，α_t)=t．又因β₁，β₂，…，β_s线性无关，故s=t．因此β₁，β₂，…，β_t是Ax=0的基础解系．

解析

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已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n一r+1个线性无关解；

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