设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-04-08 71

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

选项

答案用线性无关的定义证明。设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k－1，使得 λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α=0 (*) 两边左乘A^k－1，则有 A^k－1(λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α)=0，即 λ₀A^k－1α，λ₁A^kα，…，λ_k－1A^2(k－1)α=0，上式中因A^kα=0，可知A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，代入上式可得λ₀A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₀=0。将λ₀=0代入(*)，有λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α=0。两边左乘A^k－2，则有A^k－2(λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α)=0，即λ₁A^k－1α+…+λ_k－1A^2k－3α=0。同样，由A^kα=0，A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，可得λ₁A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₁=0。类似地可证明λ₂=…=λ_k－1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

解析

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考研数学一

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