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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
admin
2018-04-08
63
问题
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
x=0有解向量α，且A
k－1
α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A
k－1
α是线性无关的。
选项
答案
用线性无关的定义证明。 设有常数λ
0
，λ
1
，…，λ
k－1
，使得 λ
0
α，λ
1
Aα，…，λ
k－1
A
k－1
α=0 (*) 两边左乘A
k－1
，则有 A
k－1
(λ
0
α，λ
1
Aα，…，λ
k－1
A
k－1
α)=0，即 λ
0
A
k－1
α，λ
1
A
k
α，…，λ
k－1
A
2(k－1)
α=0，上式中因A
k
α=0，可知A
k+1
α=…=A
2(k－1)
α=0，代入上式可得λ
0
A
k－1
α=0。由题设A
k－1
α≠0，所以λ
0
=0。将λ
0
=0代入(*)，有λ
1
Aα+…+λ
k－1
A
k－1
α=0。两边左乘A
k－2
，则有A
k－2
(λ
1
Aα+…+λ
k－1
A
k－1
α)=0，即λ
1
A
k－1
α+…+λ
k－1
A
2k－3
α=0。同样，由A
k
α=0，A
k+1
α=…=A
2(k－1)
α=0，可得λ
1
A
k－1
α=0。由题设A
k－1
α≠0，所以λ
1
=0。类似地可证明λ
2
=…=λ
k－1
=0，因此向量组α，Aα，…，A
k－1
α是线性无关的。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xlr4777K
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考研数学一
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