设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-04-08 24

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

选项

答案用线性无关的定义证明。设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k－1，使得 λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α=0 (*) 两边左乘A^k－1，则有 A^k－1(λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α)=0，即 λ₀A^k－1α，λ₁A^kα，…，λ_k－1A^2(k－1)α=0，上式中因A^kα=0，可知A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，代入上式可得λ₀A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₀=0。将λ₀=0代入(*)，有λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α=0。两边左乘A^k－2，则有A^k－2(λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α)=0，即λ₁A^k－1α+…+λ_k－1A^2k－3α=0。同样，由A^kα=0，A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，可得λ₁A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₁=0。类似地可证明λ₂=…=λ_k－1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

考研数学一

已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．

已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αβT，则A的最大特征值为__________．

设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是()

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是()

求方程的通解．

设R3中两个基α1=[1，1，0]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，0，1]T；β1=[1，0，0]T，β2=[1，1，0]T，β3=[1，1，1]T．求β1，β2，β3到α1,α2,α3的过渡矩阵；

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATX=ATb一定有解．

已知3阶矩阵A与3维向量x．使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．(1)记P=(xAxA2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP—1；(2)计算行列式｜A+E｜．

骨髓分黄骨髓和红骨髓，黄骨髓没有造血潜能。()

关于正常人皮质醇节律，下列说法正确的是

A、活血祛瘀B、通络止痛C、引血下行D、引热下行E、补益肝肾独活寄生汤中配伍牛膝的主要用意是

一建筑工地因野蛮施工使煤气管破裂，煤气外逸，致使多名工人及附近居民中毒。其中昏迷者被送到医院。此时最有效的抢救措施是

A．滴虫性阴道炎B．外阴阴道假丝酵母菌病C．老年性阴道炎D．幼女性阴道炎E．细菌性阴道病妊娠、糖尿病及常用广谱抗生素者易发生

()也称社区服务或社会劳役，是通过判定罪犯在社区中的社会福利机构从事规定时间的无偿劳动或服务，以此赎罪悔过的刑罚措施。

在下列犯罪中,只能由国家机关工作人员构成的是()。

设随机变量(X，Y)的联合分布函数为则关于X的边缘分布函数为FX(x)=______________．

存储管理的目的是(　　　)

下面代码的输出结果是()。f＝lambdax，y：xifx＜yelseya＝f("aa"，"bb")b＝f("bb"，"aa")print(a，b)

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已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．

已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αβT，则A的最大特征值为__________．

设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是()

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求方程的通解．

设R3中两个基α1=[1，1，0]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，0，1]T；β1=[1，0，0]T，β2=[1，1，0]T，β3=[1，1，1]T．求β1，β2，β3到α1,α2,α3的过渡矩阵；

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已知3阶矩阵A与3维向量x．使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．(1)记P=(xAxA2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP—1；(2)计算行列式｜A+E｜．

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A、活血祛瘀B、通络止痛C、引血下行D、引热下行E、补益肝肾独活寄生汤中配伍牛膝的主要用意是

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A．滴虫性阴道炎B．外阴阴道假丝酵母菌病C．老年性阴道炎D．幼女性阴道炎E．细菌性阴道病妊娠、糖尿病及常用广谱抗生素者易发生

()也称社区服务或社会劳役，是通过判定罪犯在社区中的社会福利机构从事规定时间的无偿劳动或服务，以此赎罪悔过的刑罚措施。

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设随机变量(X，Y)的联合分布函数为则关于X的边缘分布函数为FX(x)=______________．

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