设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-04-08 26

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

选项

答案用线性无关的定义证明。设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k－1，使得 λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α=0 (*) 两边左乘A^k－1，则有 A^k－1(λ₀α，λ₁Aα，…，λ_k－1A^k－1α)=0，即 λ₀A^k－1α，λ₁A^kα，…，λ_k－1A^2(k－1)α=0，上式中因A^kα=0，可知A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，代入上式可得λ₀A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₀=0。将λ₀=0代入(*)，有λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α=0。两边左乘A^k－2，则有A^k－2(λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α)=0，即λ₁A^k－1α+…+λ_k－1A^2k－3α=0。同样，由A^kα=0，A^k+1α=…=A^2(k－1)α=0，可得λ₁A^k－1α=0。由题设A^k－1α≠0，所以λ₁=0。类似地可证明λ₂=…=λ_k－1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xlr4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

考研数学一

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从参数为的指数分布．若等待时间超过10分钟，他就离开．设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及P{y≥1}．

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，α4能由α1,α2,α3线性表出，并写出它的表出式．

λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是()

已知矩阵相似．(1)求x与y；(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．

已知方程组与方程组是同解方程组，试确定参数a，b，c．

设实二次型f=xTAx经过正交变换化为标准形2y12一y22一y32，又设α=(1，1，1)T满足A*α=α，求A。

_________依法应当缴纳契税。

类风湿关节炎最常累及的关节是

沉香治疗痰饮咳喘，上盛下虚之证，其作用在于

下列关于行政许可设定权的说法中，正确的是()

对于承包商已完成的工作量的计量，必须经专业监理工程师检验，在工程质量达到(　　)才予以计量。

【2015河北张家口】小高平时安静沉稳，喜欢沉思，考虑问题全面，情绪不易外露，善于忍耐与克制自己，但反应缓慢，对新环境的适应能力较差。小高的气质类型最可能是()。

Ilikeridingmybike.Thoughitisnotverynew,butitis【M1】______mybestfriend.Ifindveryconvenienttogoanywherewith

同轴电缆比光缆传输速率高。()

在长度为n的有序线性表中进行二分查找，最坏情况下需要比较的次数是()。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

考研数学一

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从参数为的指数分布．若等待时间超过10分钟，他就离开．设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及P{y≥1}．

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，α4能由α1,α2,α3线性表出，并写出它的表出式．

λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是()

已知矩阵相似．(1)求x与y；(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．

已知方程组与方程组是同解方程组，试确定参数a，b，c．

设实二次型f=xTAx经过正交变换化为标准形2y12一y22一y32，又设α=(1，1，1)T满足A*α=α，求A。

_________依法应当缴纳契税。

类风湿关节炎最常累及的关节是

沉香治疗痰饮咳喘，上盛下虚之证，其作用在于

下列关于行政许可设定权的说法中，正确的是()

对于承包商已完成的工作量的计量，必须经专业监理工程师检验，在工程质量达到( )才予以计量。

【2015河北张家口】小高平时安静沉稳，喜欢沉思，考虑问题全面，情绪不易外露，善于忍耐与克制自己，但反应缓慢，对新环境的适应能力较差。小高的气质类型最可能是()。

Ilikeridingmybike.Thoughitisnotverynew,butitis【M1】______mybestfriend.Ifindveryconvenienttogoanywherewith

同轴电缆比光缆传输速率高。()

在长度为n的有序线性表中进行二分查找，最坏情况下需要比较的次数是()。

对于承包商已完成的工作量的计量，必须经专业监理工程师检验，在工程质量达到(　　)才予以计量。