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设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
admin
2018-04-08
75
问题
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A
k
x=0有解向量α,且A
k-1
α≠0,证明:向量组α,Aα,…,A
k-1
α是线性无关的。
选项
答案
用线性无关的定义证明。 设有常数λ
0
,λ
1
,…,λ
k-1
,使得 λ
0
α,λ
1
Aα,…,λ
k-1
A
k-1
α=0 (*) 两边左乘A
k-1
,则有 A
k-1
(λ
0
α,λ
1
Aα,…,λ
k-1
A
k-1
α)=0,即 λ
0
A
k-1
α,λ
1
A
k
α,…,λ
k-1
A
2(k-1)
α=0,上式中因A
k
α=0,可知A
k+1
α=…=A
2(k-1)
α=0,代入上式可得λ
0
A
k-1
α=0。由题设A
k-1
α≠0,所以λ
0
=0。将λ
0
=0代入(*),有λ
1
Aα+…+λ
k-1
A
k-1
α=0。两边左乘A
k-2
,则有A
k-2
(λ
1
Aα+…+λ
k-1
A
k-1
α)=0,即λ
1
A
k-1
α+…+λ
k-1
A
2k-3
α=0。同样,由A
k
α=0,A
k+1
α=…=A
2(k-1)
α=0,可得λ
1
A
k-1
α=0。由题设A
k-1
α≠0,所以λ
1
=0。类似地可证明λ
2
=…=λ
k-1
=0,因此向量组α,Aα,…,A
k-1
α是线性无关的。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xlr4777K
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考研数学一
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