设A、B为n阶方阵,且对,有|λE—A|=|λE一B|,则( ).

admin2021-12-09  28

问题 设A、B为n阶方阵,且对,有|λE—A|=|λE一B|,则(    ).

选项 A、|λE+A|=|λE+B|
B、A与B相似
C、A与B合同
D、A、B同时可对角化或A、B同时不可对角化

答案A

解析 由|λE—A|=|λE一B|知,A、B具有相同的特征值λ1,λ2,…λn,即|λE—A|=|λE一B|=(λ—λ1)(λ—λ2)…(λ—λ2),而一A,一B的特征值为一λ1,一λ2,…,一λn,所以|λE一(一A)|=|λE一(一B)|=(λ11)…(λ+λn),即|λE+A|=|λE+B|.B,C,D均可举反例说明不成立.其中C项不正确是显然的,因为A、B合同,其前提是A、曰为对称矩阵.反例:如A则A、B的特征多项式相同,但A、B不相似,否则P-1AP=B→A=PBP-1=PEP-1=E,矛盾,可排除B,D.
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