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设A、B为n阶方阵,且对,有|λE—A|=|λE一B|,则( ).
设A、B为n阶方阵,且对,有|λE—A|=|λE一B|,则( ).
admin
2021-12-09
41
问题
设A、B为n阶方阵,且对
,有|λE—A|=|λE一B|,则( ).
选项
A、|λE+A|=|λE+B|
B、A与B相似
C、A与B合同
D、A、B同时可对角化或A、B同时不可对角化
答案
A
解析
由|λE—A|=|λE一B|知,A、B具有相同的特征值λ
1
,λ
2
,…λ
n
,即|λE—A|=|λE一B|=(λ—λ
1
)(λ—λ
2
)…(λ—λ
2
),而一A,一B的特征值为一λ
1
,一λ
2
,…,一λ
n
,所以|λE一(一A)|=|λE一(一B)|=(λ
1
+λ
1
)…(λ+λ
n
),即|λE+A|=|λE+B|.B,C,D均可举反例说明不成立.其中C项不正确是显然的,因为A、B合同,其前提是A、曰为对称矩阵.反例:如A
则A、B的特征多项式相同,但A、B不相似,否则P
-1
AP=B→A=PBP
-1
=PEP
-1
=E,矛盾,可排除B,D.
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考研数学三
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