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设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
admin
2022-09-05
34
问题
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有
∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
选项
答案
证法一 设F(x)=∫
0
x
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(x)g’(x)dx-f(x)g(1),x∈[0,1] 则F(x)在[0,1]上的导数连续性,并且 F’(x)=g(x)f’(x)-f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)-g(1)], 由于X∈[0,1]时,f(x)≥0, g’(x)≥0,因此F’(x)≤0,即F(x)在[0.1]上单调递减. 注意到 F(1)=∫
0
1
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt-f(1)g(1) 而∫
0
1
g(t)f’(t)dt=∫
0
1
g(t)df(t)=g(t)f(t)|
0
1
-∫
0
1
f(t)g’(t)dt =f(1)g(1)-∫
0
1
f(t)g’(t)dt 故F(1)=0 因此x∈[0,1]时,F(x)≥0由此可得对任何a∈[0,1]时有 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1) 证法二 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx=g(x)f(x)|
0
a
-∫
0
a
f(x)g’(x)dx =f(a)g(a)-∫
0
a
f(x)g’(x)dx ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx=f(a)g(a)-∫
0
a
f(x)g’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx =f(a)g(a)+∫
a
1
f(x)g’(x)dx 由于x∈[0,1]时,f’(x)≥0,因此f(x)在[0,1]内单调递增 f(x)≥f(a),x∈[a,1] 又由于x∈[0,1]时,g’(x)≥0因此 f(x)g’(x)≥f(a)g’(x),x∈[a,1] ∫
a
1
f(x)g’(x)dx≥∫
a
1
f(a)g’(x)dx=f(a)[g(1)-g(a)] 从而∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(a)+f(a)[g(1)-g(a)]=f(a)g(1)
解析
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考研数学三
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