首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
admin
2022-09-05
49
问题
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1]有
∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)
选项
答案
证法一 设F(x)=∫
0
x
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(x)g’(x)dx-f(x)g(1),x∈[0,1] 则F(x)在[0,1]上的导数连续性,并且 F’(x)=g(x)f’(x)-f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)-g(1)], 由于X∈[0,1]时,f(x)≥0, g’(x)≥0,因此F’(x)≤0,即F(x)在[0.1]上单调递减. 注意到 F(1)=∫
0
1
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt-f(1)g(1) 而∫
0
1
g(t)f’(t)dt=∫
0
1
g(t)df(t)=g(t)f(t)|
0
1
-∫
0
1
f(t)g’(t)dt =f(1)g(1)-∫
0
1
f(t)g’(t)dt 故F(1)=0 因此x∈[0,1]时,F(x)≥0由此可得对任何a∈[0,1]时有 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1) 证法二 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx=g(x)f(x)|
0
a
-∫
0
a
f(x)g’(x)dx =f(a)g(a)-∫
0
a
f(x)g’(x)dx ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx=f(a)g(a)-∫
0
a
f(x)g’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx =f(a)g(a)+∫
a
1
f(x)g’(x)dx 由于x∈[0,1]时,f’(x)≥0,因此f(x)在[0,1]内单调递增 f(x)≥f(a),x∈[a,1] 又由于x∈[0,1]时,g’(x)≥0因此 f(x)g’(x)≥f(a)g’(x),x∈[a,1] ∫
a
1
f(x)g’(x)dx≥∫
a
1
f(a)g’(x)dx=f(a)[g(1)-g(a)] 从而∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(a)+f(a)[g(1)-g(a)]=f(a)g(1)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XwR4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
计算(x+y2)dxdy,其中D={(x,y)|x2+y2≤2x+2y-1}.
设z=z(x,y)满足x2+y2=z2,令,φ(u,v)=证明:=0.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得.
设u=u(x,y,z)连续可偏导,令若=0,证明:u仅为Θ与φ的函数.
证明:xaxinxdx·a-cosxdx≥,其中a>0为常数.
设f(x)∈C[0,1],f(x)>0.证明积分不等式:lnf(x)dx≥lnf(x)dx.
设二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+2ax1x2-4x1x3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22+by32,求:参数a,b的值;
已知向量组A:α1=(0,1,2,3)T,α2=(3,0,1,2)T,α3=(2,3,0,1)T;B:β1=(2,1,1,2)T,β2=(0,-2,1,1)T,β3=(4,4,1,3)T.试证B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.
计算下列反常积分:
随机试题
sinusoid
城市内按居民居住地区设立的居民委员会与农村按居住地区设立的村民委员会一样,是我国最基层的一级政府。
传统的lP地址(IPv4)表示为一个_________位的无符号二进制数,通常用以圆点连接的四个十进制数表示。
中国共产党各方面建设的基础是()
A.詹姆斯一兰格理论B.坎农一巴德理论C.沙赫特和辛格理论D.评价一兴奋学说E.动力一分化理论情绪状态是认知过程、生理状态和环境因素在大脑皮质中整合的结果,该理论是
大黄酸具有的性质是
供求定理
期货公司应按照()原则传递客户交易指令。
资料一大河啤酒成功地在中国西部一个拥有200万人口的A市经营多年,不仅在该市取得了95%以上市场占有率的绝对垄断,而且在全省的市场占有率也达到了60%以上,成了该省啤酒业界名副其实的龙头老大。但是大河啤酒作为一个老的国有企业在营销人才和方法上都存在一
下列选项中,表述职业道德规范内容准确的是()。[河北省2008年9月三级真题]
最新回复
(
0
)