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设A是3阶实对称矩阵,λ=5是A的二重特征值.对应的特征向量为ξ1=[1,-1,2]T,ξ2=[1,2,1]T,则二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在x0=[1,5,0]T的值f(1,5,0)=________.
设A是3阶实对称矩阵,λ=5是A的二重特征值.对应的特征向量为ξ1=[1,-1,2]T,ξ2=[1,2,1]T,则二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在x0=[1,5,0]T的值f(1,5,0)=________.
admin
2021-07-27
54
问题
设A是3阶实对称矩阵,λ=5是A的二重特征值.对应的特征向量为ξ
1
=[1,-1,2]
T
,ξ
2
=[1,2,1]
T
,则二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax在x
0
=[1,5,0]
T
的值f(1,5,0)=________.
选项
答案
130
解析
已知Aξ
1
=5ξ
1
,Aξ
2
=5ξ
2
,故二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax在特征向量处的值为f(ξ
1
)=ξ
1
T
Aξ
1
=5ξ
1
T
ξ
1
,f(ξ
2
)=ξ
2
T
Aξ
2
=5ξ
2
T
ξ
2
.为求二次型在x
0
处的值,可将x
0
用ξ
1
,ξ
2
线性表出,设x
0
=x
1
ξ
1
+x
2
ξ
2
,得方程组
解得x
1
==1,x
2
=2,即x
0
=-ξ
1
+2ξ
2
.f(x
0
)=x
0
T
Ax
0
=(-ξ
1
+2ξ
2
)
T
A(-ξ
1
+2ξ
2
)=(-ξ
1
T
)A(-ξ
1
)+(-ξ
1
T
)A(2ξ
2
)+2ξ
2
T
A(-ξ
1
)+2ξ
2
T
A(2ξ
2
)=5ξ
1
T
ξ
1
-2·5ξ
1
T
ξ
2
-2·5ξ
2
T
ξ
1
+4·5ξ
2
T
ξ
2
=30-10-10+120=130.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YGy4777K
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考研数学二
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