2. 考研
  3. 设A是3阶实对称矩阵，λ=5是A的二重特征值．对应的特征向量为ξ1=[1，-1，2]T，ξ2=[1，2，1]T，则二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在x0=[1，5，0]T的值f(1，5，0)=________．

设A是3阶实对称矩阵，λ=5是A的二重特征值．对应的特征向量为ξ1=[1，-1，2]T，ξ2=[1，2，1]T，则二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在x0=[1，5，0]T的值f(1，5，0)=________．

admin2021-07-27  22
问题 设A是3阶实对称矩阵，λ=5是A的二重特征值．对应的特征向量为ξ1=[1，-1，2]T，ξ2=[1，2，1]T，则二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在x0=[1，5，0]T的值f(1，5，0)=________．
选项
答案130
解析 已知Aξ1=5ξ1，Aξ2=5ξ2，故二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在特征向量处的值为f(ξ1)=ξ1TAξ1=5ξ1Tξ1，f(ξ2)=ξ2TAξ2=5ξ2Tξ2．为求二次型在x0处的值，可将x0用ξ1，ξ2线性表出，设x0=x1ξ1+x2ξ2，得方程组解得x1==1，x2=2，即x0=-ξ1+2ξ2．f(x0)=x0TAx0=(-ξ1+2ξ2)TA(-ξ1+2ξ2)=(-ξ1T)A(-ξ1)+(-ξ1T)A(2ξ2)+2ξ2TA(-ξ1)+2ξ2TA(2ξ2)=5ξ1Tξ1-2·5ξ1Tξ2-2·5ξ2Tξ1+4·5ξ2Tξ2=30-10-10+120=130．
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考研数学二

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