求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3一8x2x3为标准形．

admin2020-09-25 34

问题求一个正交变换，化二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²一4x₁x₂+4x₁x₃一8x₂x₃为标准形．

选项

答案二次型对称矩阵为A=[*] 求其特征值：|λE一A|=[*]=λ²(λ一9)，得λ₁=λ₂=0，λ₃=9． ①当λ₁=λ₂=0时，由(一A)x=0得同解方程x₁一2x₂+2x₃=0，解得线性无关的特征向量为 ξ₁=(2，1，0)^T，ξ₂=(一2，0，1)^T，将ξ₁，ξ₂标准正交化得[*] ②当λ₃=9时，由(9E—A)x=0得同解方程为[*]解之得对应的特征向量为ξ₃=(1，一2，2)^T，再把ξ₃单位化得η₃=[*] 原二次型经正交变换[*]化为标准形f=9y₃²．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
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