2. 考研
  3. 设A，B均为n阶可逆矩阵，且AB＝B-1A-1，则r(E＋AB)＋r(E－AB)＝_______．

设A，B均为n阶可逆矩阵，且AB＝B-1A-1，则r(E＋AB)＋r(E－AB)＝_______．

admin2018-06-12  22
问题 设A，B均为n阶可逆矩阵，且AB＝B-1A-1，则r(E＋AB)＋r(E－AB)＝_______．
选项
答案n
解析 由于AB＝B-1A-1，有(AB)2＝E，即(E＋AB)(E－AB)＝0，从而得
    r(E－AB)＋r(E＋AB)≤n．    ①
    又因r(A＋B)≤r(A)＋r(B)，知
    r(E－AB)＋r(E＋AB)≥r[(E－AB)＋(E＋AB)]＝r(2E)＝n．    ②
    联立①，②得：r(E＋AB)＋r(E－AB)＝n．
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考研数学一

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