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设A,B均为n阶可逆矩阵,且AB=B-1A-1,则r(E+AB)+r(E-AB)=_______.
设A,B均为n阶可逆矩阵,且AB=B-1A-1,则r(E+AB)+r(E-AB)=_______.
admin
2018-06-12
55
问题
设A,B均为n阶可逆矩阵,且AB=B
-1
A
-1
,则r(E+AB)+r(E-AB)=_______.
选项
答案
n
解析
由于AB=B
-1
A
-1
,有(AB)
2
=E,即(E+AB)(E-AB)=0,从而得
r(E-AB)+r(E+AB)≤n. ①
又因r(A+B)≤r(A)+r(B),知
r(E-AB)+r(E+AB)≥r[(E-AB)+(E+AB)]=r(2E)=n. ②
联立①,②得:r(E+AB)+r(E-AB)=n.
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考研数学一
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