设A,B均为n阶可逆矩阵,且AB=B-1A-1,则r(E+AB)+r(E-AB)=_______.

admin2018-06-12  31

问题 设A,B均为n阶可逆矩阵,且AB=B-1A-1,则r(E+AB)+r(E-AB)=_______.

选项

答案n

解析 由于AB=B-1A-1,有(AB)2=E,即(E+AB)(E-AB)=0,从而得
    r(E-AB)+r(E+AB)≤n.    ①
    又因r(A+B)≤r(A)+r(B),知
    r(E-AB)+r(E+AB)≥r[(E-AB)+(E+AB)]=r(2E)=n.    ②
    联立①,②得:r(E+AB)+r(E-AB)=n.
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