设n阶矩阵A满足条件AAT＝4E，A的行列式｜A｜＜0，但｜2E＋A｜＝0，其中E是n阶单位矩阵，则A的伴随矩阵A*的一个特征值是_______．

admin2019-05-14 49

问题设n阶矩阵A满足条件AA^T＝4E，A的行列式｜A｜＜0，但｜2E＋A｜＝0，其中E是n阶单位矩阵，则A的伴随矩阵A^*的一个特征值是_______．

选项

答案2^n-1

解析因｜A｜＜0，故A是可逆矩阵．而由｜A^T｜＝｜A｜及AA^T＝4E得｜A｜²＝｜AA｜^T＝｜4E｜＝4ⁿ，从而｜A｜＝±2ⁿ；又因｜A｜＜0，故｜A｜＝－2ⁿ．
由｜2E＋A｜＝｜A－(－2)E｜＝0，知－2是A的一个特征值．因为A^*＝｜A｜A^-1，容易推导，如果λ是A的特征值，则

是A^*的特征值，因此，A^*的一个特征值是

＝2^n-1．

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