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设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. (1)求曲线y=f(x)的方程; (2)已知曲线y=sinx在[0,π]上的弧长为l,试用,表示曲线y=f(x)的弧长s.
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. (1)求曲线y=f(x)的方程; (2)已知曲线y=sinx在[0,π]上的弧长为l,试用,表示曲线y=f(x)的弧长s.
admin
2014-05-19
102
问题
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.
(1)求曲线y=f(x)的方程;
(2)已知曲线y=sinx在[0,π]上的弧长为l,试用,表示曲线y=f(x)的弧长s.
选项
答案
(1)曲线y=f(x)在点尸(x,y)处的法线方程为 [*], 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0,则 [*], 故Q点的坐标为[*].由题设知 [*],即2ydy+xdx=0. 积分得 x
2
+2y
2
=C(C为任意常数). 由[*]知C=1,故曲线y=f(x)的方程为 x
2
+2y
2
=1. (2)曲线y=sinx在[0,π]上的弧长为 [*] 曲线y=f(x)的参数方程为 [*] 故[*] 令[*],则 [*]
解析
[分析](1)先求出法线方程与交点坐标Q,再由题设线段PQ被x轴平分,可转化为微分方程,求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程.(2)将曲线y=f(x)化为参数方程,再利用弧长公式
进行计算即可.
[评注] 注意:只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长,所以积分限应从0到
,而不是从0到2π.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tW34777K
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考研数学二
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