2. 考研
  3. 设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． (1)求曲线y＝f(x)的方程； (2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．

设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． (1)求曲线y＝f(x)的方程； (2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．

admin2014-05-19  80
问题 设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．
    (1)求曲线y＝f(x)的方程；
    (2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．
选项
答案(1)曲线y＝f(x)在点尸(x，y)处的法线方程为 [*]， 其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X＝0，则 [*]， 故Q点的坐标为[*]．由题设知 [*]，即2ydy＋xdx＝0． 积分得 x2＋2y2＝C(C为任意常数)． 由[*]知C＝1，故曲线y＝f(x)的方程为 x2＋2y2＝1． (2)曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为 [*] 曲线y＝f(x)的参数方程为 [*] 故[*] 令[*]，则 [*]
解析 [分析](1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y＝f(x)的方程．(2)将曲线y＝f(x)化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可．
[评注]  注意：只在第一象限考虑曲线y＝f(x)的弧长，所以积分限应从0到，而不是从0到2π．
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考研数学二

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