已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系.

admin2016-03-05  42

问题 已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系.

选项

答案由已知可得A的行向量是Cx=0的解,即CA T=O.则C(BA)T=CATBT=OBT=0.可见BA的行向量是方程组Cx=0的解.由于A的行向量是基础解系,所以A的行向量线性无关,于是m=r(A)=n—r(C).又因为B是可逆矩阵,r(BA)=r(A)=m=n—r(C),所以鲋的行向量线性无关,其向量个数正好是n—r(C),因此是方程组Cx=0的基础解系.

解析
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