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设α1,α2,α3,…,αn为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵,证明:Aα1,Aα2,Aα3,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆。
设α1,α2,α3,…,αn为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵,证明:Aα1,Aα2,Aα3,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆。
admin
2021-11-25
48
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵,证明:Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,…,Aα
n
线性无关的充分必要条件是A可逆。
选项
答案
令B=(α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
),因为α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
为n个n维线性无关的向量,所以r(B)=n,(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,…,Aα
n
)=AB,因为r(AB)=r(A),所以Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,…,Aα
n
线性无关的充分必要条件是r(A)=n,即A可逆。
解析
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考研数学二
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