设α1,α2,α3,…,αn为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵，证明：Aα1,Aα2,Aα3,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆。

admin2021-11-25 23

问题设α₁,α₂,α₃,…,α_n为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵，证明：Aα₁,Aα₂,Aα₃,…,Aα_n线性无关的充分必要条件是A可逆。

选项

答案令B=(α₁,α₂,α₃,…,α_n),因为α₁,α₂,α₃,…,α_n为n个n维线性无关的向量，所以r(B)=n,(Aα₁,Aα₂,Aα₃,…,Aα_n)=AB,因为r(AB)=r(A)，所以Aα₁,Aα₂,Aα₃,…,Aα_n线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即A可逆。

解析

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考研数学二

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