设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f"(ξ)=一4．

admin2019-06-06 40

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f"(ξ)=一4．

选项

答案按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式，得 [*] 这样一来，若f"(ξ₁)=f"(ξ₂)，则f"(ξ)=f"(ξ₂)=一4．从而这时ξ可取为ξ₁或ξ₂．若f"(ξ₁)≠f"(ξ₂)，这时[*][f"(ξ₁)+f"(ξ₂)]=一4就是f"(ξ₁)与f"(ξ₂)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，2)使得f"(ξ)=一4．

解析

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