设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f"(ξ)=一4.

admin2019-06-06  21

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f"(ξ)=一4.

选项

答案按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式,得 [*] 这样一来,若f"(ξ1)=f"(ξ2),则f"(ξ)=f"(ξ2)=一4.从而这时ξ可取为ξ1或ξ2.若f"(ξ1)≠f"(ξ2),这时[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]=一4就是f"(ξ1)与f"(ξ2)的一个中间值,按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](0,2)使得f"(ξ)=一4.

解析
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