(2015年)已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数。

admin2018-03-11 101

问题 (2015年)已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x²+y²+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数。

选项

答案因为f(x，y)沿着梯度的方向导数最大，且最大值为梯度的模， f′_x(x，y)=1+y，f′_y(x，y)=1+x，故gradf(x，y)={1+y，1+x)，模为[*] 因此题目转化为求函数[*]在约束条件C：x²+y²+xy=3下的最大值，即为条件极值问题。为了计算简单，可以转化为求d(x，y)=(1+y)²+(1+x)²在约束条件C：x²+y²+xy=3下的最大值。构造拉格朗日函数：F(x，y，λ)=(1+y)²+(1+x)²+λ(x²+y²+xy一3)， [*] 得到M₁(1，1)，M₂(一1，一1)，M₃(2，一1)，M₄(一1，2)。 d(M₁)=8，d(M₂)=0，d(M₃)=9，d(M₄)=9，所以最大值为[*]

解析

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考研数学一

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