设z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,u=x+by,可将z关于x,y的方程=0化为z关于u,v的方程=0,并求出其解z=z(x+ay,x+by).

admin2018-07-26  25

问题 设z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,u=x+by,可将z关于x,y的方程=0化为z关于u,v的方程=0,并求出其解z=z(x+ay,x+by).

选项

答案z与x,y的复合关系为:[*]于是 [*] 代入所给方程,得[*]=0 按题意,应取1—4a+3a2=0,1—4b+3b2=0,2—4(a+b)+6ab≠0. 解得[*] 由[*]可知[*],其中ψ(v)为v的任意的可微函数. 于是z=[*] 其中ψ(u)为u的任意的可微函数,Φ(v)为ψ(v)的一个原函数. 取a=[*],b=1时,得z=[*] 取a=1,b=[*]时,得z=[*] 由于Φ与ψ的任意性,所以两组解其实是一样的.

解析
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