设线性方程组 与方程 (Ⅱ):x1+2x2+x3=a一1 有公共解,求a的值及所有公共解.

admin2016-04-11  24

问题 设线性方程组

与方程
(Ⅱ):x1+2x2+x3=a一1
有公共解,求a的值及所有公共解.

选项

答案方程组(I)的系数矩阵A的行列式为 [*] (1)当|A|≠0,即a≠1且a≠2时,方程组(I)只有零解,而零解x=(0,0,0)T不满足方程(Ⅱ),故当a≠1且a≠2时,(I)与(Ⅱ)无公共解; (2)当a=1时,由A的初等行变换 [*] 得方程组(I)的通解为x=c(1,0,一1)T,其中c为任意常数.显然当a=1时,(Ⅱ)是(I)的一个方程,(I)的解都满足(Ⅱ).所以,当a=1时,(I)与(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1,0,一1)T,其中c为任意常数; (3)当a=2时,由A的初等行变换 [*] 得(I)的通解为x=k(0,1,一1)T,要使它是(Ⅱ)的解,将其代入方程(Ⅱ),得k=1,故当a=2时,(I)与(Ⅱ)的公共解为x=(0,1,一1)T

解析
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