设A=,且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1,2,1)T,求a,Q。

admin2019-01-23  14

问题 设A=,且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1,2,1)T,求a,Q。

选项

答案按已知条件,(1,2,1)T是矩阵A的特征向量,设特征值是λ1,那么 [*] 又因 |λE-A|=[*]=(λ-2)(λ-5)(λ+4), 知矩阵A的特征值是2,5,-4。 对λ=5,由(5E-A)x=0得基础解系α2=(1,-1,1)T。 对λ=-4,由(-4E-A)x=0得基础解系α3=(-1,0,1)T。 因为A是实对称矩阵,对应于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化α2,α3,即 [*]

解析
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