设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2019-01-23 18

问题设A=

，且存在正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵。若Q的第一列为

(1，2，1)^T，求a，Q。

选项

答案按已知条件，(1，2，1)^T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ₁，那么 [*] 又因｜λE-A｜=[*]=(λ-2)(λ-5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，-4。对λ=5，由(5E-A)x=0得基础解系α₂=(1，-1，1)^T。对λ=-4，由(-4E-A)x=0得基础解系α₃=(-1，0，1)^T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α₂，α₃，即 [*]

解析

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考研数学一

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求下列微分方程的通解：(I)(x一2)dy＝[y＋2(x一2)3]dx；(Ⅱ)y2dx＝(x＋y2)dy；(Ⅲ)(3y一7x)dx＋(7y一3x)dy＝0；(Ⅳ)一3xy＝xy2．
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