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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且Aα1=α2,A2α1=α3,A3α1=-α1. (Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)-1; (Ⅱ)如果α1=(1,0,-1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(-1,1,1)T,求
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且Aα1=α2,A2α1=α3,A3α1=-α1. (Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)-1; (Ⅱ)如果α1=(1,0,-1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(-1,1,1)T,求
admin
2020-10-30
29
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且Aα
1
=α
2
,A
2
α
1
=α
3
,A
3
α
1
=-α
1
.
(Ⅰ)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)
-1
;
(Ⅱ)如果α
1
=(1,0,-1)
T
,α
2
=(0,1,1)
T
,α
3
=(-1,1,1)
T
,求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)由已知条件知 A
3
α
1
=-α
1
, A
3
α
2
=A
4
α
1
=A(A
3
α
1
)=-Aα
1
)=-α
2
), A
3
α
3
=A
5
α
1
=A
2
(A
3
α
1
)=-A
2
α
1
=-α
3
,则A
3
(α
1
,α
2
,α
3
)=(A
3
α
1
,A
3
α
2
,A
3
α
3
)=-(α
1
,α
2
,α
3
),记B=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则矩阵B可逆,于是A
3
B=-B,等式两端右乘B
-1
,得A
3
=-E,故A
3
+8E=7E,即[*] 于是A|2E可逆,且(A+2E)
-1
=[*] (Ⅱ)由已知条件知Aα
1
=α
2
,Aα
2
=A
2
α
1
=α
3
,Aα
3
=A
3
α
1
=-α
1
,从而有A(α
1
,α
2
,α
3
)=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
2
,α
3
,-α
1
),即[*] 故[*]
解析
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考研数学三
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