首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2018-01-23
90
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r
=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无 关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程 组AX=b的一组解. 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即 (k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构 成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性 无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZNX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
级数x2n-1的收敛域为__________.
设f(x)=则f(x)在点x=0处().
已知线性方程组问:(1)a,b为何值时,方程组有解?(2)有解时,求出方程组导出组的一个基础解系;(3)有解时,求出方程组导出组的全部解.
设A为三阶实对称矩阵,λ1=8,λ2=λ3=2是其特征值.已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1,k,1]T,对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[-1,1,0]T.试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A.
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3为三维线性无关列向量组,且有Aα1=α2+α3,Aα2=α3+α1,Aα3=α1+α2.(1)求A的全部特征值;(2)A是否可对角化?
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f′(η)=2f(x)dx.
A是m×n矩阵,线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是().
设矩阵A与B相似,且(1)求a,b的值;(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
已知an=x2(1一x)ndx,证明级数an收敛,并求这个级数的和.
设α1,α2,α3,α4,α5都是四维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=α5有通解kξ+η=k(1,一1,2,0)T+(2,1,0,1)T,则下列关系式中不正确的是()
随机试题
直流放大器主要放大直流信号,但也能放大交流信号。()
治疗先天性甲状腺功能减低症的主要药物是
如图所示,水平河床上有一溢流水坝,坝段长为L,通过流量为Q时,坝上游水深为H,溢流水坝下游收缩断面水深为hc,求水流对坝体的作用力。应用动量方程来求解这一问题时,下面的求解过程中,错误的是()。
在施工过程中,工程师发现曾检验合格的工程部位仍存在施工质量问题,则修复该部位工程质量缺陷时应由()。
【真题(初级)】公司采用较高的信用标准,将会导致的结果是()。
著作权转让合同中著作权人未明确转让的权利,未经著作权人同意,另一方当事人不得行使。()
中国四大佛教名山是()。
()是围家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育,是国家必须予以保障的公益性事业。
我在一些卓越的评论家的著作中读到过这么一种观点,说托尔斯泰的思想精髓是源于法国的浪漫主义作家乔治·桑、维克多·雨果。且不说认为托尔斯泰是受乔治·桑影响的这种看法之不可信,也不必去否认让·雅克·卢梭和司汤达对他的实际影响之大,反正怀疑他的伟大和魅力是源自他的
A.WushuschoolshavedevelopedquicklyB.WushuhasaverydeepbasefromthemassesC.ItcanstrengthenphysicalhealthA:I’vea
最新回复
(
0
)