2. 考研
  3. 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足，r(A)＝r＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足，r(A)＝r＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．

admin2018-01-23  96
问题 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足，r(A)＝r＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．
选项
答案因为r(A)＝r＜n，所以齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有n－r个线性无 关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn－r． 设η0为方程组AX＝b的一个特解， 令β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，β2＝ξ2＋η0，…，βn－r＝ξn－r＋η0，显然β0，β1，β2，…，βn－r为方程 组AX＝b的一组解． 令k0β0＋k1β1＋…＋kn－rβn－r＝0，即 (k0＋k1＋…＋kn－r)η0＋k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＝0， 上式两边左乘A得(k0＋k1＋…＋kn－r)b＝0， 因为b为非零列向量，所以k0＋k1＋…＋kn－r＝0，于是 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＝0， 注意到ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn－r＝0， 故β0，β1，β2，…，βn－r线性无关，即方程组AX＝b存在由n－r＋1个线性无关的解向量构 成的向量组．设β1，β2，…，βn－r＋2为方程组AX＝b的一组线性无关解， 令γ1＝β2－β1，γ2＝β3－β1，…，γn－r＋1＝βn－r＋2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn－r＋1线性 无关，又γ1，γ2，…，γn－r＋1为齐次线性方程组AX＝0的一组解，即方程组AX＝0含有n－r＋1个线性无关的解，矛盾，所以AX＝b的任意n－r＋2个解向量都是线性相关的，所以 AX＝b的线性无关的解向量的个数最多为n－r＋1个．
解析
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考研数学三

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