首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2018-01-23
64
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r
=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无 关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程 组AX=b的一组解. 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即 (k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构 成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性 无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZNX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设,B是三阶非零矩阵,且BAT=0则秩r(B)=_________.
级数x2n-1的收敛域为__________.
用配方法化二次型f(x,y,z)=x2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx为标准形,并求所用的可逆线性变换.
已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数:D=D(p)=,S=S(p)=bp,其中a>0,b>0为常数;价格P是时间t的函数,且满足方程=k[D(p)一S(p)](k为正常数).①假设当t=0时,价格为1.试求:(1)需求量等于供
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=,使得p-1AP=.又A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T.(1)求λ0的值;(2)计算(A*)-1;(3)计算行列式|A*+E|.
设矩阵A与B相似,且(1)求a,b的值;(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
已知an=x2(1一x)ndx,证明级数an收敛,并求这个级数的和.
已知f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且在(a,b)内存在相等的最大值,又设f(a)=g(a),f(b)=g(b),试证明:存在ξ∈(a,b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
若向量组α1=(1,1,λ)T,α2=(1,λ,1)T,α3=(λ,1,1)T线性相关,则λ=_______.
随机试题
51.根据现行国家标准《建筑内部装修设计防火规范》(GB50222),下列装修装饰材料中,不属于其他装修装饰材料的是()。
无牙牙合患者修复前做牙槽嵴修整的主要目的是
产后10天,左乳胀痛发热。查体:体温38.7℃,左乳外上象限皮温度,红肿有压痛,肿块约5cmx5cm大小,中心有波动感。最恰当的治疗方法是
施工安全管理体系遵循PDCA循环模式运行,是一个( )。
一大型铁路工程招标要求投标企业具有铁路施工总承包特级资质,某具有铁路施工总承包一级资质施工企业(代号X)借用具有投标资格的A集团公司之名参与投标,并联合参与投标的B、C、D集团公司统一报价后A集团公司中标,X企业自行组织项目部进场施工并向A集团公司支付了一
导游员要做到有针对性的讲解,必须注意研究客人的心理,集中精力对客人的需求做出准确的判断,在讲解之前做到心中有数,有备而讲。()
民航规定出售儿童半价票的年龄为()。
在一个单CPU的计算机系统中,有两台外部设备R1、R2和三个进程P1、P2、P3。系统采用可剥夺式优先级的进程调度方案,且所有进程可以并行使用I/O设备,三个进程的优先级、使用设备的先后顺序和占用设备时间如下表所示:假设操作系统的开销忽略不计,三个进程
TheLandofDisneyPredictingthefutureisalwaysrisky.Butit’sprobablysafetosaythatatleastafewhistorianswill
A、Tomorrow.B、Today.C、Yesterday.D、Thedayaftertomorrow.A对话结尾部分女士说这样的优惠很具有吸引力,男士说这次促销活动明天就结束了。由此可见,促销的结束时间是明天。
最新回复
(
0
)