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设A,B是n阶实对称可逆矩阵.则下列关系不一定成立的是 ( )
设A,B是n阶实对称可逆矩阵.则下列关系不一定成立的是 ( )
admin
2019-07-01
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问题
设A,B是n阶实对称可逆矩阵.则下列关系不一定成立的是 ( )
选项
A、A,B等价.
B、AB,BA相似.
C、A,B合同.
D、A
2
,B
2
合同.
答案
C
解析
(A)成立,A,B均是可逆矩阵,均可以通过初等行变换化成单位矩阵,即有可逆矩阵P,Q,使得PA=QB=E,即有Q
-1
PA=B,故A等价于B.
(B)成立,取可逆矩阵P=A,则有P
-1
(AB)P=A
-1
(AB)A=BA.故AB~BA.
(D)成立,A,B是实对称可逆矩阵,特征值分别为λ
i
,μ
i
(i=1,2,…,n)且均不为零,A
2
,B
2
的特征值
分别为λ
i
2
>0,μ
i
2
>0(i=1,2,…,n),则A
2
,B
2
均是正定矩阵.它们的正惯性指数均为n(负惯性指数为零).故A
2
合同于B
2
.
由排除法,应选(C).
对于(C),取
均是可逆的实对称矩阵,但A的正惯性指数为2,B的正惯性指数为1,故A,B不合同.
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考研数学一
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