设A＝，X是2阶矩阵． (I)求满足AX－XA＝O的所有X； (Ⅱ)问AX－XA＝E是否有解?其中E是2阶单位矩阵，说明理由．

admin2020-12-10 51

问题设A＝

，X是2阶矩阵．
(I)求满足AX－XA＝O的所有X；
(Ⅱ)问AX－XA＝E是否有解?其中E是2阶单位矩阵，说明理由．

选项

答案(I)设X＝[*]，则 [*] 解得x₄＝K，x₃＝3L，x₂＝2L，x₁＝K－3L．故X＝[*]，其中K，L是任意常数． (Ⅱ)法一由(I)知AX－XA＝E可写为 [*] 第1个方程和第4个方程是矛盾的，故AX－XA＝E无解．法二由(I)(*)式易知tr(AX)＝tr(XA)，故 tr(AX－XA)＝tr(AX)－tr(XA)＝0≠tr(E)＝2．故方程组AX－XA＝E无解．

解析

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考研数学二

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设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
[2007年]设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B
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