设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr线性无关,向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs可由(Ⅰ)线性表示: βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1,2,…,s).证明:向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(aij)r×s的秩为s.

admin2018-07-27  18

问题 设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr线性无关,向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs可由(Ⅰ)线性表示:
βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1,2,…,s).证明:向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(aij)r×s的秩为s.

选项

答案不妨设αi(i=1,…,r)及βj(j=1,…,s)均为n维列向量,则题设的线性表示或可写成矩阵形式: [β1 β2…βs]=[α1 α2…αr]A,或B=PA,其中B=[β1 β2…βs]为n×s矩阵,P=[α1 α2…αr]为n×r矩阵,且P的列线性无关.于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解:若Bx=P(Ax)=0,因P的列线性无关,得Ax=0;若Ax=0,两端左乘P,得PAx=Bx=0,所以Bx=0与Ax=0同解,[*]s-r(B)=s-r(A),[*]r(B)=r(A),[*](Ⅱ)线性无关[*](B)=s[*]r(A)=s.

解析
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