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在区间[0,a]上|f’’(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值. 求证:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
在区间[0,a]上|f’’(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值. 求证:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
admin
2018-09-25
23
问题
在区间[0,a]上|f’’(x)|≤M,且f(x)在(0,a)内取得极大值.
求证:|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
选项
答案
f(x)在(0,a)内取得极大值,不妨设在点x=c处取到,则f’(c)=0.f’(x)在[0,c]与[c,a]上分别使用拉格朗日中值定理, f’(c)-f’(0)=cf’’(ξ
1
),ξ
1
∈(0,c), f’(a)-f’(c)=(a-c)f’’(ξ
2
),ξ
2
∈(c,a), 所以 |f’(0)|+|f’(a)|=c|f’’(ξ
1
)|+(a-c)|f’’(ξ
2
)| ≤cM+(a-c)M=aM.
解析
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考研数学一
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