在区间[0，a]上｜f’’(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．求证：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．

admin2018-09-25 62

问题在区间[0，a]上｜f’’(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．
求证：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．

选项

答案f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设在点x=c处取到，则f’(c)=0．f’(x)在[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理， f’(c)－f’(0)=cf’’(ξ₁)，ξ₁∈(0，c)， f’(a)－f’(c)=(a－c)f’’(ξ₂)，ξ₂∈(c，a)，所以｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=c｜f’’(ξ₁)｜+(a－c)｜f’’(ξ₂)｜ ≤cM+(a－c)M=aM．

解析

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