2. 考研
  3. 求下列三重积分： (Ⅰ)I=(x2+y2)dV，其中Ω由z=16(x2+y2)，z=4(x2+y2)，z=16围成； (Ⅱ)I=dV，其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定； (Ⅲ)I=xyzdV，其中Ω：x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分．

求下列三重积分： (Ⅰ)I=(x2+y2)dV，其中Ω由z=16(x2+y2)，z=4(x2+y2)，z=16围成； (Ⅱ)I=dV，其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定； (Ⅲ)I=xyzdV，其中Ω：x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分．

admin2016-10-26  23
问题 求下列三重积分：
(Ⅰ)I=(x2+y2)dV，其中Ω由z=16(x2+y2)，z=4(x2+y2)，z=16围成；
(Ⅱ)I=dV，其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定；
(Ⅲ)I=xyzdV，其中Ω：x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分．
选项
答案(Ⅰ)Ω由两旋转抛物面与平面z=16所围，被积函数为r2(r=[*])，故选用柱坐标变换．过x轴，极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9．57)，于是用先二后一(先r，z后θ)的积分顺序化为累次积分，则有 [*] [*] (Ⅱ)被积函数为ρ=[*]的函数，Ω是球体：x2+y2+(z－1)2≤12，故选用球坐标变换． 在球坐标变换下，Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤[*]，0≤ρ≤2cosφ， 于是 [*] (Ⅲ)积分域Ω是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以． 利用球坐标系． [*]
解析
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考研数学一

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