求下列三重积分: (Ⅰ)I=(x2+y2)dV,其中Ω由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成; (Ⅱ)I=dV,其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定; (Ⅲ)I=xyzdV,其中Ω:x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分.

admin2016-10-26  24

问题 求下列三重积分:
(Ⅰ)I=(x2+y2)dV,其中Ω由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成;
(Ⅱ)I=dV,其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定;
(Ⅲ)I=xyzdV,其中Ω:x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分.

选项

答案(Ⅰ)Ω由两旋转抛物面与平面z=16所围,被积函数为r2(r=[*]),故选用柱坐标变换.过x轴,极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9.57),于是用先二后一(先r,z后θ)的积分顺序化为累次积分,则有 [*] [*] (Ⅱ)被积函数为ρ=[*]的函数,Ω是球体:x2+y2+(z-1)2≤12,故选用球坐标变换. 在球坐标变换下,Ω:0≤θ≤2π,0≤φ≤[*],0≤ρ≤2cosφ, 于是 [*] (Ⅲ)积分域Ω是球的一部分,球也可以看成是旋转体,所以使用球坐标系与柱坐标系都可以. 利用球坐标系. [*]

解析
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