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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,且,证明: (1)存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0; (2)存在ζ(0,1),使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,且,证明: (1)存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0; (2)存在ζ(0,1),使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
admin
2021-04-16
68
问题
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,且
,证明:
(1)存在x
0
∈(0,1),使得f(x
0
)=0;
(2)存在ζ(0,1),使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
选项
答案
(1)根据题设条件,存在a,b∈(0,1),使得f(a)f(b)<0,不妨设a<b,由零点定理可知,存在x
0
∈(a,6),使得f(x
0
)=0 (2)构造辅助函数F(x)=e
-x
f(x),则F(x)在[0,1]上具有二阶导数,且F”(x)=e
-x
[f”(x)-2f’(x)+f(x)],注意到F(0)=F(x
0
)=F(1)=0,由罗尔定理可知,存在η
1
∈(0,x
0
),η
2
∈(x
0
,1),使得F’(η
1
)=F’(η
2
)=0,再次利用罗尔定理可知,存在ζ∈(η
1
,η
2
),使得F”(ζ)=0,即f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZZx4777K
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考研数学三
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