2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且，证明： (1)存在x0∈(0，1)，使得f(x0)=0； (2)存在ζ(0，1)，使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且，证明： (1)存在x0∈(0，1)，使得f(x0)=0； (2)存在ζ(0，1)，使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。

admin2021-04-16  47
问题 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)=f(1)=0，且，证明：
    (1)存在x0∈(0，1)，使得f(x0)=0；
    (2)存在ζ(0，1)，使得f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
选项
答案(1)根据题设条件，存在a，b∈(0，1)，使得f(a)f(b)＜0，不妨设a＜b，由零点定理可知，存在x0∈(a，6)，使得f(x0)=0 (2)构造辅助函数F(x)=e-xf(x)，则F(x)在[0，1]上具有二阶导数，且F”(x)=e-x[f”(x)-2f’(x)+f(x)]，注意到F(0)=F(x0)=F(1)=0，由罗尔定理可知，存在η1∈(0，x0)，η2∈(x0，1)，使得F’(η1)=F’(η2)=0，再次利用罗尔定理可知，存在ζ∈(η1，η2)，使得F”(ζ)=0，即f”(ζ)+f(ζ)=2f’(ζ)。
解析
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考研数学三

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