设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

admin2016-07-22  57

问题 设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

选项

答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y’’’(0)x3+o(x3) (x→0). 当x→0时,y(x)与x3同阶则y(0)=0,y’(0)=0,y’’(0)=0,y’’’(0)=C,其中C为非零常数. 由这些初值条件,现将方程y(4)-y’’=0两边积分得 [*] 即y’’(x)-C-y’(x)=0,两边再积分得y’’(x)-y(x)=Cx. 易知,它有特解y*=-Cx,因此它的通解是y=C1ex+C2e-x-Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得C1+C2=0,C1-C2=C,即C1=[*] 因此最后得y=[*],其中C为非零常数.

解析
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