设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2016-07-22 61

问题设y(x)是方程y⁽⁴⁾-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

选项

答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y’’’(0)x³+o(x³) (x→0)．当x→0时，y(x)与x³同阶则y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y⁽⁴⁾-y’’=0两边积分得 [*] 即y’’(x)-C-y’(x)=0，两边再积分得y’’(x)-y(x)=Cx．易知，它有特解y^*=-Cx，因此它的通解是y=C₁e^x+C₂e^-x-Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C₁+C₂=0，C₁-C₂=C，即C₁=[*] 因此最后得y=[*]，其中C为非零常数．

解析

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