二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求： (1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

admin2020-03-16 110

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²＋aχ₂²＋χ₃²－4χ₁χ₂－8χ₁χ₃－4χ₂χ₃经过正交变换化为标准形5y₁²＋by₂²－4y₃²，求：
(1)常数a，b；
(2)正交变换的矩阵Q．

选项

答案(1)令[*] 则f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX，矩阵A的特征值为λ₁＝5，λ₂＝b，λ₃＝－4， [*] 从而A＝[*]，特征值为λ₁＝λ₂＝5，λ₃＝－4． (2)将λ₁＝λ₂＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，由5E－A＝[*]得λ₁＝λ₂＝5对应的线性无关的特征向量为 [*] 将λ₃＝－4代入(2E－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0，由4E＋A＝[*]得λ₃＝－4对应的线性无关的特征向量为 α₃＝[*]．令[*] 单位化得[*] 所求的正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学二

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二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求： (1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

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