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二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+aχ22+χ32-4χ1χ2-8χ1χ3-4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12+by22-4y32,求: (1)常数a,b; (2)正交变换的矩阵Q.
二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+aχ22+χ32-4χ1χ2-8χ1χ3-4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12+by22-4y32,求: (1)常数a,b; (2)正交变换的矩阵Q.
admin
2020-03-16
130
问题
二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+aχ
2
2
+χ
3
2
-4χ
1
χ
2
-8χ
1
χ
3
-4χ
2
χ
3
经过正交变换化为标准形5y
1
2
+by
2
2
-4y
3
2
,求:
(1)常数a,b;
(2)正交变换的矩阵Q.
选项
答案
(1)令[*] 则f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX, 矩阵A的特征值为λ
1
=5,λ
2
=b,λ
3
=-4, [*] 从而A=[*],特征值为λ
1
=λ
2
=5,λ
3
=-4. (2)将λ
1
=λ
2
=5代入(λE-A)X=0,即(5E-A)X=0, 由5E-A=[*]得λ
1
=λ
2
=5对应的线性无关的特征向量为 [*] 将λ
3
=-4代入(2E-A)X=0,即(4E+A)X=0, 由4E+A=[*]得λ
3
=-4对应的线性无关的特征向量为 α
3
=[*]. 令[*] 单位化得[*] 所求的正交变换矩阵为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zs84777K
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考研数学二
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