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(2007年试题,24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,又α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A2一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵. (I)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)
(2007年试题,24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,又α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A2一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵. (I)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)
admin
2014-08-19
70
问题
(2007年试题,24)设三阶对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,又α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
2
一4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵.
(I)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(I)容易验证A
1
n
α
1
=λ
1
n
α
1
(n=1,2,…),于是Bα
1
=(A
5
一4A
3
+B)α
1
=(λ
1
5
一4λ
1
3
+1)α
1
=一2α
1
于是一2是矩阵B的特征值,k
1
α
1
是B属于特征值一2的全部特征向量(k
1
∈R,非零).同理可求得矩阵B的另外两个特征值1,1.因A为实对称矩阵,则B也为实对称矩阵,于是矩阵曰属于不同特征值的特征向量正交.设B的属于1的特征向量为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有方程x
1
一x
2
+x
3
=0于是求得B的属于1的全部特征向量为β=k
2
α
2
+k
3
α
3
,其中α
2
=(一1,0,1)
T
,α
3
=(1,1,0)
T
,k
2
,k
3
∈R,不全为零.(Ⅱ)令矩阵P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*]则P
-1
BP=diag(一2,1,1),于是[*]
解析
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考研数学二
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