2. 考研
  3. (2007年试题，24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，又α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A2一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)

(2007年试题，24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，又α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A2一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)

admin2014-08-19  109
问题 (2007年试题，24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，又α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A2一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．
(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(I)容易验证A1nα1=λ1nα1(n=1，2，…)，于是Bα1=(A5一4A3+B)α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1于是一2是矩阵B的特征值，k1α1是B属于特征值一2的全部特征向量(k1∈R，非零)．同理可求得矩阵B的另外两个特征值1，1．因A为实对称矩阵，则B也为实对称矩阵，于是矩阵曰属于不同特征值的特征向量正交．设B的属于1的特征向量为(x1，x2，x3)T，则有方程x1一x2+x3=0于是求得B的属于1的全部特征向量为β=k2α2+k3α3，其中α2=(一1，0，1)T，α3=(1，1，0)T，k2，k3∈R，不全为零．(Ⅱ)令矩阵P=(α1，α2，α3)=[*]则P-1BP=diag(一2，1，1)，于是[*]
解析
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考研数学二

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