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设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0.证明: (1)对于任意的x∈(一1,0)∪(0,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立. (2).
设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0.证明: (1)对于任意的x∈(一1,0)∪(0,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立. (2).
admin
2017-08-28
822
问题
设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0.证明:
(1)对于任意的x∈(一1,0)∪(0,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立.
(2)
.
选项
答案
(1)由拉格朗日中值定理,对任意的x∈(1,一1),x≠0,存在θ∈(0,1)使 f(x)=f(0)+xf’(θx)(θ与x有关). 又由f"(x)连续且f"(x)≠0知,f"(x)在(1,一1)不变号,则f’(x)在(1,一1)严格单调,θ唯一. (2)对f’(θx)使用f"(0)的定义.由(1)中的式子,则有 [*]
解析
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考研数学一
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