A和B都是n阶矩阵.给出下列条件 ①A是数量矩阵. ②A和B都可逆. ③(A+B)2=A2+2AB+B2. ④AB=cE. ⑤(AB)2=A2B2. 则其中可推出AB=BA的有( )

admin2018-11-23  31

问题 A和B都是n阶矩阵.给出下列条件
    ①A是数量矩阵.
    ②A和B都可逆.
    ③(A+B)2=A2+2AB+B2
    ④AB=cE.
    ⑤(AB)2=A2B2
    则其中可推出AB=BA的有(    )

选项 A、①②③④⑤.
B、①③⑤.
C、①③④.
D、①③.

答案D

解析 ①和③的成立是明显的.②是不对的,如

    ④AB=cE,在c≠0时可推出AB=BA,但是c=0时则推不出AB=BA.

    ⑤(AB)2=A2B2推不出AB=BA.对于④中的A和B,(AB)2和A2B2都是零矩阵,但是AB≠BA.
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