设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．

admin2018-11-22 56

问题设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[一a，a]，使得a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx，a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

选项

答案上式两边积分得∫_－a^af(x)dx=[*]∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx．因为f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴， [*] a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[一a，a]，使得a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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