设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

admin2018-05-21  38

问题 设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.

选项

答案必要性:设BTAB是正定矩阵,则对任意的X≠0,XTBTABX=(BX)TA(BX)>0,所以 BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解,所以r(B)=n. 充分性:反之,设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0, 因为A为正定矩阵,所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)>0, 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,所以BTAB为对称矩阵, 所以BTAB为正定矩阵.

解析
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