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已知矩阵的特征方程有重根,问参数a取何值时,A能相似于对角矩阵,并说明理由.
已知矩阵的特征方程有重根,问参数a取何值时,A能相似于对角矩阵,并说明理由.
admin
2021-07-27
70
问题
已知矩阵
的特征方程有重根,问参数a取何值时,A能相似于对角矩阵,并说明理由.
选项
答案
计算A的特征多项式. [*] 由题设f(λ)=0有重根,故分两种情况讨论. ①若λ=2是f(λ)=0的重根,则g(λ)=λ
2
-8λ+10+a含有λ-2的因子,从而g(2)=0,解得a=2.此时[*]λ=2是A的二重特征值,而[*]由上得r(2E-A)=1,所以此时属于A的二重特征值λ=2的线性无关的特征向量个数为3-1=2,故此时A能相似于对角矩阵. ②若λ=2不是f(λ)=0的重根,则λ
2
-8λ+10+a是完全平方项,由此解得a=6.此时[*]λ=4是A的二重特征值,而[*]由上得r(4E-A)=2,所以此时属于A的二重特征值λ=4的线性无关的特征向量个数为3-2=1,故此时A不能相似于对角矩阵.综上所述参数a=2时,A能与对角矩阵相似.
解析
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考研数学二
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