已知矩阵的特征方程有重根，问参数a取何值时，A能相似于对角矩阵，并说明理由．

admin2021-07-27 48

问题已知矩阵

的特征方程有重根，问参数a取何值时，A能相似于对角矩阵，并说明理由．

选项

答案计算A的特征多项式． [*] 由题设f(λ)=0有重根，故分两种情况讨论． ①若λ=2是f(λ)=0的重根，则g(λ)=λ²-8λ+10+a含有λ-2的因子，从而g(2)=0，解得a=2．此时[*]λ=2是A的二重特征值，而[*]由上得r(2E-A)=1，所以此时属于A的二重特征值λ=2的线性无关的特征向量个数为3-1=2，故此时A能相似于对角矩阵． ②若λ=2不是f(λ)=0的重根，则λ²-8λ+10+a是完全平方项，由此解得a=6．此时[*]λ=4是A的二重特征值，而[*]由上得r(4E-A)=2，所以此时属于A的二重特征值λ=4的线性无关的特征向量个数为3-2=1，故此时A不能相似于对角矩阵．综上所述参数a=2时，A能与对角矩阵相似．

解析

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考研数学二

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