设D={(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，求I=(x2+y2)dσ．

admin2018-06-27 51

问题设D={(x，y)｜x+y≥1，x²+y²≤1}，求I=

(x²+y²)dσ．

选项

答案D由直线x+y=1与圆周x²+y²=1所围成，如图8．10． [*] 记D₁={(x，y)｜x²+y²≤1，x≥0，y≥0}， D₂={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}， [*]D=D₁＼D₂，从而 I=[*](x²+y²)dσ-[*](x²+y²)dσ=[*](x²+y²)dσ-2[*]x²dσ =[*]dθ∫₀¹r².rdr-2∫₀¹dx∫₀^1-xx²dy =[*]-2∫₀¹x²(1-x)dx [*] 其中由于D₂关于直线y=x对称，所以[*]y²dσ=[*]x²dσ．

解析

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