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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤.
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤.
admin
2019-08-23
22
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f"(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤
.
选项
答案
由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f’(x)(0一x)+[*](0一x)
2
,ξ∈(0,x), f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+[*](1-x)
2
,η∈(x,1), 两式相减得 f’(x)=[*][f”(ξ)x
2
一f"(η)(1一x)
2
], 取绝对值得 |f’(x)|≤[*][x
2
+(1-x)
2
], 因为x
2
≤x,(1一x)
2
≤1一x,所以x
2
+(1一x)
2
≤1,故|f’(x)|≤[*]
解析
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考研数学一
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