设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。 (Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>一,

admin2017-12-29  46

问题 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
(Ⅰ)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>一,证明(Ⅰ)中的x0是唯一的。

选项

答案(Ⅰ)本题可转化为证明x0f(x0)=∫x01f(x)dx。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt,则φ(x)在闭区间[0,1]上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理可知,存在x0∈(0,1),使得φ’(x0)=0,即 φ’(x0)=x0 f(x0)一∫x01f(t)dt=0, 即 x0f(x0)=∫x01f(x)dx。 (Ⅱ)令 F(x)= xf(x)一∫x1f(t)dt, 且由f’(x)>[*]有 F’(x)=f’(x)+f(x)+ f(x)=f(x)+xf’(x)>0, 即F(x)在(0,1)内是严格单调递增的,从而F(x)=0的点x=x0 一定唯一,因此(Ⅰ)中的点是唯一的。

解析
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