2. 考研
  3. 设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 （Ⅰ）试证存在x0∈（0，1），使得在区间[0，x0]上以f（x0）为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f（x）为曲边的梯形面积。 （Ⅱ）又设f（x）在区间（0，1）内可导，且f’（x）＞一，

设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 （Ⅰ）试证存在x0∈（0，1），使得在区间[0，x0]上以f（x0）为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f（x）为曲边的梯形面积。 （Ⅱ）又设f（x）在区间（0，1）内可导，且f’（x）＞一，

admin2017-12-29  125
问题 设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
（Ⅰ）试证存在x0∈（0，1），使得在区间[0，x0]上以f（x0）为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f（x）为曲边的梯形面积。
（Ⅱ）又设f（x）在区间（0，1）内可导，且f’（x）＞一，证明（Ⅰ）中的x0是唯一的。
选项
答案（Ⅰ）本题可转化为证明x0f（x0）=∫x01f（x）dx。令φ（x）=一x∫x1f（t）dt，则φ（x）在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间（0，1）上是可导的，又因为φ（0）=φ（1）=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈（0，1），使得φ’（x0）=0，即 φ’（x0）=x0 f（x0）一∫x01f（t）dt=0， 即 x0f（x0）=∫x01f（x）dx。 （Ⅱ）令 F（x）= xf（x）一∫x1f（t）dt， 且由f’（x）＞[*]有 F’（x）=f’（x）+f（x）+ f（x）=f（x）+xf’（x）＞0， 即F（x）在（0，1）内是严格单调递增的，从而F（x）=0的点x=x0 一定唯一，因此（Ⅰ）中的点是唯一的。
解析
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考研数学三

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