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设A=,且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1,2,1)T,求a,Q。
设A=,且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1,2,1)T,求a,Q。
admin
2019-05-08
54
问题
设A=
,且存在正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵。若Q的第一列为
(1,2,1)
T
,求a,Q。
选项
答案
按已知条件,(1,2,1)
T
是矩阵A的特征向量,设特征值是λ
1
=1,那么 [*] 又因为 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ+4), 知矩阵A的特征值是2,5,一4。 对λ=5,由(5E—A)x=0得基础解系α
2
=(1,一1,1)
T
。 对λ=一4,由(一4E一A)x=0得基础解系α
3
=(一1,0,1)
T
。 因为A是实对称矩阵,对应于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化α
2
,α
3
,即 γ
2
=[*](1,一1,1)
T
,γ
3
=[*](一1,0,1)
T
, 令Q=[*],则有Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*]。
解析
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考研数学三
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