设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2019-05-08 17

问题设A=

，且存在正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵。若Q的第一列为

(1，2，1)^T，求a，Q。

选项

答案按已知条件，(1，2，1)^T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ₁=1，那么 [*] 又因为 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α₂=(1，一1，1)^T。对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α₃=(一1，0，1)^T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α₂，α₃，即 γ₂=[*](1，一1，1)^T，γ₃=[*](一1，0，1)^T，令Q=[*]，则有Q^TAQ=Q^-1AQ=[*]。

解析

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