2. 考研
  3. 设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2019-05-08  21
问题 设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。
选项
答案按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1=1，那么 [*] 又因为 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ+4)， 知矩阵A的特征值是2，5，一4。 对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。 对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。 因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即 γ2=[*](1，一1，1)T，γ3=[*](一1，0，1)T， 令Q=[*]，则有QTAQ=Q-1AQ=[*]。
解析
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考研数学三

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