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设函数f(x)在(0,+∞)上连续,且对任意正值a与b,积分∫aabf(x)dx的值与a无关,且f(1)=1.则f(x)=______.
设函数f(x)在(0,+∞)上连续,且对任意正值a与b,积分∫aabf(x)dx的值与a无关,且f(1)=1.则f(x)=______.
admin
2019-01-05
109
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上连续,且对任意正值a与b,积分∫
a
ab
f(x)dx的值与a无关,且f(1)=1.则f(x)=______.
选项
答案
[*]
解析
因∫
a
ab
f(x)dx与a无关,所以[∫
a
ab
f(x)dx]
a
’≡0,即
f(ab)b-f(a)≡0.
上式应该对任意a成立,所以令a=1亦应成立,有
f(b)b一f(1)=0,f(b)=
由于b为任意正值,则有f(x)=
可以验算,
=ln ab—lna=ln b,与a无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/b4W4777K
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考研数学三
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