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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A;
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A;
admin
2019-07-16
85
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A;
选项
答案
1 对α
1
,α
2
正交化.令ξ
1
=α
1
=(-1,2,-1)
T
ξ
2
=α
2
-[*]ξ
1
=1/2(-1,0,1)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,α
3
单位化,得 [*] 那么Q为正交矩阵,且Q
T
AQ=A. 2 由于A只有一个重特征值λ
1
=λ
2
=0,故要求A的3个两两正交的特征向量,只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可.由于 ξ
2
=α
1
+2α
2
=(-1,2,-1)
T
+2(0,-1,1)
T
=(-1,0,1)
T
也是A的属于特征值0的特征向量,且α
1
⊥ξ
2
,故 ξ
1
=α
1
=(-1,2,-1)
T
,ξ
2
=(-1,0,1)
T
,ξ
3
=α
3
=(1,1,1)
T
就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0,0,3),再将它们单位化,即令e
j
=ξ
j
/‖ξ
j
‖(j=1,2,3), 则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e
1
e
2
e
3
],且有Q
T
AQ=diag(0,0,3),以下具体求解同解1. 3 由实对称矩阵的性质,知A的属于特征值λ
1
=λ
2
=0的特征向量ξ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
与属于特征值λ
3
=1的特征向量α
3
=(1,1,1)
T
正交,即 x
1
+x
2
+x
3
=0 求解此齐次方程,得其基础解系——即属于λ
1
=λ
2
=0的两个线性无关特征向量为 ξ
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=(1,1,-2)
T
ξ
1
与ξ
2
已经正交,故ξ
1
,ξ
2
,α
3
为A的3个两两正交的特征向量,再将它们单位化,便得所求的正交矩阵可取为 [*] 且使Q
T
AQ=diag(0,0,3).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bAJ4777K
0
考研数学三
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