设函数f0(x)在(－∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)．证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)；

admin2018-05-25 68

问题设函数f₀(x)在(－∞，+∞)内连续，f_n(x)=∫₀^xf_n－1(t)dt(n=1，2，…)．
证明：f_n(x)=

∫₀^xf₀(t)(x－t)^n－1dt(n=1，2，…)；

选项

答案n=1时，f₁(x)=∫₀^xf₀(t)dt，等式成立；设n=k时f_k(x)=[*] ∫₀^xf₀(t)(x－t)^k－1dt，则n=k+1时， [*] 由归纳法得f_n(x)=[*]∫₀^xf₀(t)(x－t)^n－1dt(n=1，2，…)．

解析

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考研数学三

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