求圆x2+y2=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x2一2所围面积取最小值,并求此最小值.

admin2017-08-18  31

问题 求圆x2+y2=1的一条切线,使此切线与抛物线y=x2一2所围面积取最小值,并求此最小值.

选项

答案如图4.5,圆周的参数方程为x=cosθ,y=sinθ.圆周上[*]点(cosθ,sinθ)处切线的斜率是[*],于是切线方程是 [*] 它与y=x2一2交点的横坐标较小者为α,较大者为β,则α,β是方程x2+xcotθ—2一[*]=0的根,并且切线与抛物线所围面积为 [*] 为求[*](β一α)3最小值,只要求(β一α)2最小值,由一元二次方程根与系数关系得 [*] 所以,当[*]+2=0时取最小值3.由 [*] 因此,所围面积最小值为[*] 所求切线有两条:[*]

解析
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