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设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP=.若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=( )
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP=.若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=( )
admin
2018-07-26
13
问题
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P
-1
AP=
.若P=(α
1
,α
2
,α
3
),Q=(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
),则Q
-1
AQ=( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
1 Q(α
1
+a
2
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
=PM
其中,矩阵
于是,Q
-1
AQ=(PM)
-1
A(PM)=M
-1
(P
-1
AP)M
因此选B.
2 已知A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
,α
2
,2α
3
)
Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=2α
3
A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
AQ=A(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
=(A(α
1
+α
1
),Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+α
2
,α
2
,2α
3
)
=(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
两端左乘Q
-1
,得Q
-1
AQ=
,故选B.
3 由已知A相似于对角矩阵diag(1,1,2),知α
1
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2.α
1
+α
2
≠0(否则α
1
,α
2
线性相关,与α
1
,α
2
,α
3
线性无关矛盾),且A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+α
2
=α
1
+α
2
,因此α
1
+α
2
是A的属于特征值1的一个特征向量.
从而知α
1
+α
2
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2,因此利用矩阵相似对角化可写出
(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)
-1
A(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
)=diag(1,1,2),即Q
-1
AQ=diag(1,1,2).因此选B.
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考研数学三
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