2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )

admin2018-07-26  8
问题 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 1 Q(α1+a2，α2，α3)=(α1，α2，α3)=PM
其中，矩阵

于是，Q－1AQ=(PM)－1A(PM)=M－1(P－1AP)M

因此选B．
2 已知A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)
(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，2α3)
Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3
A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2
AQ=A(α1+α2，α2，α3)
=(A(α1+α1)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2，2α3)
=(α1+α2，α2，α3)
两端左乘Q－1，得Q－1AQ=，故选B．
3 由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+α2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．
从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出
(α1+α2，α2，α3)－1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q－1AQ=diag(1，1，2)．因此选B．
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考研数学三

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