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求f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.
求f(x,y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.
admin
2018-09-20
57
问题
求f(x,y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上的最大值和最小值.
选项
答案
这是闭区域上求最值的问题.由于函数f(x,y)=x+xy一x
2
-y
2
在闭区域D上连续,所以一定存在最大值和最小值. 首先求f(x,y)=x+xy一x
2
一y
2
在闭区域D内部的极值: 解方程组[*]得区域D内部唯一的驻点为[*]由 g(x,y)=(f
xy
")
2
一f
xx
"f
yy
"=一3,f
xx
"=一2,得f(x,y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D内部的极大值[*] 再求f(x,y)在闭区域D边界上的最大值与最小值: 这是条件极值问题,边界直线方程即为约束条件. 在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1),于是拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x+xy一x
2
一y
2
+λy, [*] 在下边界的端点(0,0),(1,0)处f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以下边界的最大值为[*]最小值为0. 同理可求出: 在上边界上的最大值为一2,最小值为一4; 在左边界上的最大值为0,最小值为一4; 在右边界上的最大值为[*],最小值为一2. 比较以上各值,可知函数f(x,y)=x+xy一x
2
一y在
2
闭区域D上的最大值为[*]最小值为一4.
解析
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考研数学三
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