2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f”(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f”(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

admin2022-09-22  52
问题 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f”(x)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．
选项
答案点(b，f(b))处的切线方程为y-f(b)=f’(b)(x-b)． 令y=0，得x0=b-[*]． 由于f’(x)＞0，可知f(x)在[a，+∞)上单调递增． 又f(a)=0，b＞0，可知f(b)＞0，f’(b)＞0． 因此x0=b-[*]＜b． 又x0-a=b-a-[*]，且在区间[a，b]上，由拉格朗日中值定理得 [*]=f’(ξ)，ξ∈(a，b)． 则有x0-a=b-a-[*]． 由于f”(x)＞0，可知f’(x)在[a，+∞)上单调递增． 因此f’(b)＞f’(ξ)，继而可得x0＞a． 综上所述，a＜x0＜b，结论得证．
解析
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考研数学二

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