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[2002年] 微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1,y′∣x=1=1/2的特解是________.
[2002年] 微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1,y′∣x=1=1/2的特解是________.
admin
2021-01-19
103
问题
[2002年] 微分方程yy"+y
′2
=0满足初始条件y∣
x=1
=1,y′∣
x=1
=1/2的特解是________.
选项
答案
因所给方程为不显含自变量x的可降阶方程.令y′=P(y),则y"=p[*],将其代入原方程即可求得其解.也可用凑导数法求之. 解一 令y′=P(y),则y"=P[*],代入原方程,得到p(y[*]+p)=0.因p=0不满足初始条件,应舍去,得到[*].积分后得到p=[*],将初始条件代入得到C
1
=[*]再对[*],即2ydy=dx积分,得到y
2
=x+C
2
,代入初始条件得出C
2
=1,于是y
2
=x+1.再由y∣
x=1
=1得到特解y=[*]. 解二 用凑导数法解之.原方程可化为(yy′)′=0,两边积分得到∫(yy′)′dx=C
1
,即 yy′=C
1
.由所给的初始条件易求得C
1
=1/2,于是yy′=1/2.两边积分得到 ∫yy′dx=∫ydy=[*]x+C
2
, 即[*]+C
2
. 由初始条件y∣
x=1
=1,得到C
2
=1/2,于是有 y
2
=x+l, 即 y=[*](因y∣
x=1
>0).
解析
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考研数学二
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