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  3. [2002年] 微分方程yy＂+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1，y′∣x=1=1／2的特解是________．

[2002年] 微分方程yy＂+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1，y′∣x=1=1／2的特解是________．

admin2021-01-19  105
问题 [2002年]  微分方程yy＂+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1，y′∣x=1=1／2的特解是________．
选项
答案 因所给方程为不显含自变量x的可降阶方程．令y′=P(y)，则y＂=p[*],将其代入原方程即可求得其解．也可用凑导数法求之． 解一 令y′=P(y)，则y＂=P[*]，代入原方程，得到p(y[*]+p)=0．因p=0不满足初始条件，应舍去，得到[*]．积分后得到p=[*]，将初始条件代入得到C1=[*]再对[*]，即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得出C2=1，于是y2=x+1．再由y∣x=1=1得到特解y=[*]. 解二 用凑导数法解之．原方程可化为(yy′)′=0，两边积分得到∫(yy′)′dx=C1，即 yy′=C1．由所给的初始条件易求得C1=1／2，于是yy′=1／2．两边积分得到 ∫yy′dx=∫ydy=[*]x+C2， 即[*]+C2． 由初始条件y∣x=1=1，得到C2=1／2，于是有 y2=x+l， 即 y=[*](因y∣x=1＞0)．
解析
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考研数学二

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