2. 考研
  3. 设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0且=a﹥0,令an=.证明：{an}收敛且0≤.

设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0且=a﹥0,令an=.证明：{an}收敛且0≤.

admin2019-09-23  98
问题 设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0且=a﹥0,令an=.证明：{an}收敛且0≤.
选项
答案因为f’(x)＜0,所以f(x）单调减少。又因为an+1-an=f(n+1)-[*]f(x)dx=f(n+1)-f(ε)≤0(ε∈[n,n+1], 所以an单调减少。 因为[*][f(k)-f(x)]dx≥0(k=1,2,...,n-1) 且[*]=a＞0,所以存在X＞0，当x＞X时，f(X)＞0. 由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1,+∞)）时，故an≥f(n)＞0,所以[*]存在。 [*].
解析
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考研数学二

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