设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.

admin2019-01-13  31

问题 设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点.

选项

答案构造辅助函数F(x)=f(x)ex,由于f(x)可导,故F(x)可导,设x1和x2为f(x)的两个零点,且x1<x2,则F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0.由于eξ≠0,因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0.

解析
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