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设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
admin
2020-04-30
38
问题
设矩阵
求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
选项
答案
解法1:由于|A|=7≠0,所以矩阵A的任一特征值A≠0.设η是A的属于λ的一个特征向量,即Aη=λη,故η是A
-1
的属于1/λ的特征向量.又A
*
=|A|A
-1
,故η是A
*
的属于|A|/λ的特征向量.由B=P
-1
A
*
P,有PBP
-1
=A
*
从而 [*] 即[*],所以P
-1
η,是B的属于特征值|A|/λ的特征向量. 由 [*] 知A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=7.通过计算可知,A的属于特征值λ
1
=λ
2
=1的线性无关的特征向量可取为 [*] 属于λ
3
=7的一个特征向量可取为 [*] 又 [*] 于是B的属于特征值|A|/λ
1,2
=7的特征向量可取为 [*] 矩阵B的属于特征值|A|/λ
3
=1的特征向量可取为 [*] 故矩阵B+2E的特征值为3,9,9.属于特征值9的特征向量为 [*] 其中K
1
,K
2
是不全为零的常数;属于特征值3的特征向量为 [*] 其中K
3
为不等于零的常数. 解法2:由条件得 [*] 所以 [*] 由|λE-(B+2E)|=(λ-9)
2
(λ-3),知B+2E的特征值为3,9,9.属于特征值9的特征向量为 [*] 其中K
1
,K
2
是不全为零的常数; 属于特征值3的特征向量为 [*] 其中K
3
为不等于零的常数.
解析
本题主要考查矩阵的特征值及特征向量的计算,并由A的特征值、特征向量计算与A有关的某些矩阵的特征值及特征向量.本题主要有两种解法,一是先讨论矩阵B与A的特征值、特征向量之间的关系,经计算A的特征值、特征向量而得到B+2E的特征值、特征向量;二是由A求A
*
,再求B及B+2E,从而算出B+2E的特征值、特征向量.后一方法由于要经过多次数字计算,中间稍有错误便前功尽弃.
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考研数学一
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