设向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

admin2022-04-02 104

问题设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，α₃；(Ⅱ)：α₁，α₂，α₃，α₄；(Ⅲ)：α₁，α₂，α₃，α₅，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4，证明：向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4．

选项

答案因为向量组(Ⅰ)的秩为3，所以α₁，α₂，α₃线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α₄可由向量组α₁，α₂，α₃线性表示．因为向量组(Ⅲ)的秩为4，所以α₁，α₂，α₃，α₅线性无关，即向量α₅不可由向量组α₁，α₂，α₃线性表示，故向量α₅-α₄不可由α₁，α₂，α₃线性表示，所以α₁，α₂，α₃，α₅-α₄线性无关，于是向量组α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩为4．

解析

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考研数学三

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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

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设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求A2；

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